Injections, surjections, bijections

Combien d'antécédents a chaque élément de l'ensemble d'arrivée : au plus un, au moins un, exactement un.

Définition Injection

On dit que f : E → F est injective, ou est une injection de E dans F, si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

tout élément de F admet au plus un antécédent dans E par f ;

deux éléments distincts de E ont deux images distinctes ;

pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) d'inconnue x ∈ E admet au plus une solution ;

∀(x, x′) ∈ E2, f(x) = f(x′) ⟹ x = x′ ;

∀(x, x′) ∈ E2, x ≠ x′ ⟹ f(x) ≠ f(x′).

Exemple : La fonction carré et l'injectivité.

Exemple La fonction carré et l'injectivité

f = (ℝ → ℝx ↦ x2) n'est pas injective : f(1) = f(−1). Sa restriction (ℝ+ → ℝx ↦ x2) est injective.

Illustre : Injection.

Solution.

Soit (x, x′) ∈ ℝ+2 avec x2 = x′2. Alors x2 − x′2 = 0, soit (x − x′)(x + x′) = 0 : x = x′ ∨ x = −x′. Dans le second cas, comme x et x′ sont positifs, x = x′ = 0. Donc x = x′.

Définition Surjection

Une application f : E → F est dite surjective, ou est une surjection de E sur F, si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) d'inconnue x ∈ E admet au moins une solution ;

tout élément de F admet au moins un antécédent par f dans E ;

∀y ∈ F, ∃x ∈ E : y = f(x).

Exemple : Exemples de surjections.

Exemple Exemples de surjections

(ℝ → ℝx ↦ x2) n'est pas surjective, car −1 n'a pas d'antécédent dans ℝ. (ℝ → ℝ+x ↦ x2) est une surjection, car ∀y ∈ ℝ+, ∃x ∈ ℝ : y = x2 : prendre par exemple x = −y.

(ℝ+* → ]−∞, 1e1]x ↦ ln(x)x) est surjective : sa dérivée est 1 − ln(x)x2, positive avant e et négative après, donc elle croît de −∞ à 1e1 puis décroît.

Illustre : Surjection.

Définition Bijection

Une application f : E → F à la fois injective et surjective est dite bijective, ou est une bijection de E sur F. De façon équivalente :

pour tout y ∈ F, l'équation y = f(x) d'inconnue x ∈ E admet une unique solution ;

tout élément y de F admet exactement un antécédent par f dans E ;

∀y ∈ F, ∃!x ∈ E : y = f(x).

Exemple : Une bijection.

Exemple Une bijection

(ℝ−* → ℝ+*x ↦ x2) est bijective : pour tout y ∈ ℝ+* et x ∈ ℝ−*, y = x2 équivaut à x = −y.

Illustre : Bijection.