Couples et produit cartésien

Couples, produit de deux ensembles, puis de n ensembles.

Définition Couple¶

Soit A et B deux ensembles, a, a′ deux éléments de A et b, b′ deux éléments de B. Le couple (a, b) est caractérisé par (a, b) = (a′, b′) ⟺ a = a′ ∧ b = b′ : l'ordre compte.

Définition Produit cartésien¶

Le produit cartésien de A et B est l'ensemble des couples (a, b) avec a ∈ A et b ∈ B : A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Exemple : Exemples de couples.

Exemple Exemples de couples¶

(π, 2) ∈ ℝ × ℤ et (i, 1) ∈ ℂ × ℕ.

Illustre : Produit cartésien.

Remarque Attention à l'ordre¶

En général A × E ≠ E × A. On note A × A = A², et ∅ × E = E × ∅ = ∅.

Définition Produit de n ensembles¶

On généralise en posant (A₁ × … × A_n) = {(a₁, …, a_n) | ∀i ∈ ⟦1, n⟧, a_i ∈ A_i}, aussi noté ∏ des A_i pour i de 1 à n. Ses éléments sont les n-uplets (a₁, …, a_n).