Fonctions indicatrices

Coder une partie par une fonction à valeurs 0 ou 1, pour calculer avec les opérations sur les ensembles.

Définition Opérations sur les fonctions à valeurs réelles

ℝE est l'ensemble des applications de E dans ℝ. On les ajoute, soustrait et multiplie point par point : f + g est x ↦ f(x) + g(x), de même pour f − g et fg. Un réel c désigne aussi la fonction constante égale à c (par exemple 1), et f ≤ g signifie ∀x ∈ E, f(x) ≤ g(x).

Définition Fonction indicatrice

Si E est un ensemble et A une partie de E, on appelle fonction indicatrice de A l'application 𝟙A = (E → {0, 1}x ↦ {1 si x ∈ A0 si x ∉ A).

Indicatrice et égalité

Lemme Indicatrice d'une partie plus petite

Si A ⊂ B, alors 𝟙A ≤ 𝟙B, i.e. ∀x ∈ E, 𝟙A(x) ≤ 𝟙B(x).

Démonstration.

1er cas : si x ∈ A, alors x ∈ B, donc 𝟙A(x) = 𝟙B(x) = 1.

2e cas : si x ∉ A, alors 𝟙A(x) = 0, et 0 ≤ 𝟙B(x).

Lemme Réciproque

Si 𝟙A ≤ 𝟙B, alors A ⊂ B.

Démonstration.

Si x ∈ A, alors 𝟙A(x) = 1, d'où 𝟙B(x) = 1, et x ∈ B.

Propriété Deux parties ont la même indicatrice si et seulement si elles sont égales

Pour toutes parties A et B de E, A = B ⟺ 𝟙A = 𝟙B.

Exemple : Démontrer des égalités d'ensembles avec les indicatrices.

Démonstration.

A = B équivaut à A ⊂ B et B ⊂ A, donc, d'après les deux lemmes qui précèdent, à 𝟙A ≤ 𝟙B et 𝟙B ≤ 𝟙A, c'est-à-dire à 𝟙A = 𝟙B.

Indicatrices et opérations

Propriété Indicatrices du complémentaire, de l'intersection, de l'union

Si A et B sont deux parties d'un ensemble E :

1) 𝟙∁EA = 1 − 𝟙A (1 est la fonction constante égale à 1) ;

2) 𝟙A ∩ B = 𝟙A𝟙B ;

3) 𝟙A ∪ B = 𝟙A + 𝟙B si A et B sont disjoints ;

4) 𝟙A ∪ B = 𝟙A + 𝟙B − 𝟙A ∩ B pour A et B quelconques.

Exemple : Démontrer des égalités d'ensembles avec les indicatrices.

Démonstration.

Les fonctions ont les mêmes ensembles de départ et d'arrivée ; on compare leurs valeurs en tout x ∈ E, par disjonction des cas.

1) Si x ∈ A, alors x ∉ ∁EA : 𝟙∁EA(x) = 0 et 𝟙A(x) = 1. Si x ∉ A, alors x ∈ ∁EA : 𝟙∁EA(x) = 1 et 𝟙A(x) = 0.

2) Si x ∈ A ∩ B, x ∈ A et x ∈ B : les deux membres valent 1. Sinon, x ∉ A ∨ x ∉ B, donc 𝟙A(x) = 0 ∨ 𝟙B(x) = 0, et 𝟙A(x)𝟙B(x) = 0.

3) Si x ∉ A ∪ B, les trois valeurs sont nulles. Si x ∈ A, alors x ∉ B car A et B sont disjoints : 𝟙A(x) = 1 et 𝟙B(x) = 0. De même si x ∈ B.

4) (A ∖ B) ∪ (A ∩ B) = A, réunion disjointe, donc d'après 3) 𝟙A = 𝟙A ∖ B + 𝟙A ∩ B. De même (A ∖ B) ∪ B = A ∪ B, réunion disjointe, donc 𝟙A ∪ B = 𝟙A ∖ B + 𝟙B. On retranche les deux égalités.

Exemple Démontrer des égalités d'ensembles avec les indicatrices

Si A, B et C sont trois parties de E, retrouver ∁E(A ∩ B) = ∁EA ∪ ∁EB et A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Illustre : Deux parties ont la même indicatrice si et seulement si elles sont égales, Indicatrices du complémentaire, de l'intersection, de l'union.

Solution.

D'une part 𝟙∁E(A ∩ B) = 1 − 𝟙A𝟙B. D'autre part :

𝟙∁EA ∪ ∁EB=𝟙∁EA + 𝟙∁EB − 𝟙∁EA𝟙∁EB=1 − 𝟙A + (1 − 𝟙B) − (1 − 𝟙A)(1 − 𝟙B)=1 − 𝟙A𝟙B

Pour la seconde, comme 𝟙A𝟙A = 𝟙A :

𝟙A ∩ (B ∪ C)=𝟙A(𝟙B + 𝟙C − 𝟙B𝟙C)=𝟙A𝟙B + 𝟙A𝟙C − 𝟙A𝟙B𝟙A𝟙C=𝟙A ∩ B + 𝟙A ∩ C − 𝟙A ∩ B𝟙A ∩ C=𝟙(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

On conclut avec la propriété qui précède.