Quantificateurs

Pour tout, il existe, et comment nier une phrase quantifiée.

Pour tout, il existe

Axiome Quantificateurs

∀x ∈ A, P(x) signifie « pour tout x de A, P(x) » (ou « quel que soit x … ») : P(x) est vraie pour chaque élément x de A. ∃x ∈ A : P(x) signifie « il existe x dans A tel que P(x) » : P(x) est vraie pour au moins un élément x de A. Le deux-points se lit « tel que ».

∀ et ∃ ne sont pas des abréviations du français : on ne les utilise que dans des formules.

Définition Il existe un unique

∃!x ∈ A : P(x) signifie qu'il existe exactement un x dans A tel que P(x) : il en existe un, et si P(x) et P(y) alors x = y.

Exemple Une phrase quantifiée

∀y ∈ ℝ, ∃x ∈ ℝ : y = x7 + x se lit « pour tout réel y, il existe un réel x tel que y = x7 + x ».

Définition Suite convergente

Pour l ∈ ℝ, le fait que unn→+∞l se formule ainsi : ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : ∀n ∈ ℕ, n ≥ N ⟹ |un − l| ≤ ε.

La suite (un)n ≥ 0 converge quand elle a une limite réelle : ∃l ∈ ℝ : ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : ∀n ∈ ℕ, n ≥ N ⟹ |un − l| ≤ ε.

Négation des quantificateurs

Propriété Négation d'une phrase quantifiée

¬(∀x ∈ A, P(x)) ⟺ (∃x ∈ A : ¬P(x)) et ¬(∃x ∈ A : P(x)) ⟺ (∀x ∈ A, ¬P(x)) : on échange ∀ et ∃, et on nie la propriété. Par exemple, ¬(∃x ∈ A : ∀y ∈ B, ∃z ∈ C : P(x, y, z)) équivaut à ∀x ∈ A, ∃y ∈ B : ∀z ∈ C, ¬P(x, y, z).

Exemple : Suite non convergente.

Démonstration.

∀x ∈ A, P(x) est fausse exactement quand P(x) est fausse pour au moins un x de A. La seconde équivalence s'obtient en appliquant la première à ¬P(x), puis la double négation.

Exemple Suite non convergente

(un)n ≥ 0 est une suite convergente : ∃l ∈ ℝ : ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : ∀n ∈ ℕ, n ≥ N ⟹ |un − l| ≤ ε.

Sa négation, « la suite diverge », s'écrit : ∀l ∈ ℝ, ∃ε > 0 : ∀N ∈ ℕ, ∃n ∈ ℕ : n ≥ N ∧ |un − l| > ε.

Illustre : Négation d'une phrase quantifiée.