Composition, bijection réciproque

Enchaîner deux applications, et défaire une bijection.

Définition Bijection réciproque¶

Si f : E → F est bijective, l'application définie sur F, à valeurs dans E, qui à tout élément y ∈ F associe l'unique antécédent x ∈ E de y par f, s'appelle la bijection réciproque de f, notée f⁻¹ : ∀(x, y) ∈ E × F, y = f(x) ⟺ x = f⁻¹(y).

Définition Composée¶

Soit E, F et G trois ensembles, f : E → F et g : F → G. On définit g ∘ f : E → G par ∀x ∈ E, (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Exemple : La composition n'est pas commutative.

Exemple La composition n'est pas commutative¶

Soit f = (ℝ → ℝx ↦ x + 1) et g = (ℝ → ℝx ↦ x²). Alors g ∘ f = (ℝ → ℝx ↦ (x + 1)²) et f ∘ g = (ℝ → ℝx ↦ x² + 1). Pour x = 1, la première vaut 4 et la seconde 2 : f ∘ g ≠ g ∘ f.

Illustre : Composée.

Propriété Composée d'injections, de surjections, de bijections¶

Soit f : E → F et g : F → G deux applications. Si f et g sont injectives, alors g ∘ f aussi ; si f et g sont surjectives, alors g ∘ f aussi ; si f et g sont bijectives, alors g ∘ f aussi.

Démonstration.

1) Soit (x, x′) ∈ E² tel que (g ∘ f)(x) = (g ∘ f)(x′), ou encore g(f(x)) = g(f(x′)). Comme g est injective, f(x) = f(x′), puis par injectivité de f, x = x′ : g ∘ f est injective.

2) Soit z ∈ G. g étant surjective, il existe y ∈ F tel que z = g(y) ; f étant surjective, il existe x ∈ E tel que y = f(x). Donc z = g(f(x)) = (g ∘ f)(x) : g ∘ f est surjective.

3) découle de 1) et 2).

Propriété La réciproque d'une bijection¶

Si f : E → F est bijective, alors f⁻¹ : F → E est bijective, avec f ∘ f⁻¹ = Id_F, f⁻¹ ∘ f = Id_E et f⁻¹⁻¹ = f.

Démonstration.

Soit x ∈ E ; f(x) ∈ F. Comme f est bijective, x est l'unique antécédent de f(x) par f, donc f(x) est l'unique antécédent de x par f⁻¹ : f⁻¹ est bijective, et f⁻¹⁻¹ = f.

Pour tout y ∈ F, f(f⁻¹(y)) = y, car f⁻¹(y) est un antécédent de y ; et pour tout x ∈ E, f⁻¹(f(x)) = x.

Propriété Image réciproque par une bijection¶

Si f : E → F est bijective, pour tout A ∈ 𝒫(F), f_r⁻¹(A) = f⁻¹_d(A) = ⋃a ∈ A {f⁻¹(a)} : l'image réciproque par f est l'image directe par f⁻¹, ce qui justifie la notation.

Démonstration.

Pour x ∈ E : x ∈ f_r⁻¹(A) équivaut à f(x) ∈ A, c'est-à-dire à l'existence de a ∈ A tel que a = f(x), ou encore x = f⁻¹(a), c'est-à-dire à x ∈ f⁻¹_d(A).