Inégalité arithmético-géométrique

La moyenne arithmétique de réels strictement positifs est supérieure à leur moyenne géométrique. Trois démonstrations : par récurrence, par le logarithme (Engel), et celle de Cauchy.

Lemme Produit égal à 1

Si a1, …, an sont des réels strictement positifs tels que a1⋯an = 1, alors a1 + … + an ≥ n.

Démonstration.

Par récurrence sur n. Initialisation : pour n = 1, a1 = 1 et 1 ≥ 1.

Hérédité : soit a1, …, an + 1 de produit 1. Quitte à les renuméroter, a1 ≤ 1 ≤ an + 1 (ils ne peuvent pas être tous strictement plus grands que 1, ni tous strictement plus petits). Comme a1an + 1(a2⋯an) = 1, l'hypothèse de récurrence appliquée aux n réels a1an + 1, a2, …, an donne a1an + 1 + a2 + … + an ≥ n.

Or a1 + an + 1 − (a1an + 1 + 1) = (1 − a1)(an + 1 − 1), qui est positif. Donc a1 + … + an + 1 ≥ a1an + 1 + 1 + a2 + … + an ≥ n + 1.

Lemme Le logarithme sous sa tangente

Pour tout x ∈ ℝ+*, ln(x) ≤ x − 1, avec égalité si et seulement si x = 1. De même, pour tout réel y, ey ≥ y + 1.

Démonstration.

On étudie φ(x) = x − 1 − ln(x) sur ℝ+* : sa dérivée est 1 − 1x, c'est-à-dire x − 1x, strictement négative sur ]0, 1[ et strictement positive sur ]1, +∞[. Donc φ décroît strictement puis croît strictement : son minimum, atteint seulement en 1, vaut 0.

Théorème Inégalité arithmético-géométrique

Pour tout n ∈ ℕ* et tous réels strictement positifs x1, …, xn : x1 + … + xnn ≥ nx1⋯xn.

Démonstration (par récurrence).

Posons G = nx1⋯xn et ai = xiG pour i ∈ ⟦1, n⟧. Les ai sont strictement positifs et leur produit vaut x1⋯xnGn, c'est-à-dire 1.

D'après le lemme, a1 + … + an ≥ n, soit x1 + … + xnG ≥ n : c'est l'inégalité voulue.

Preuve alternative (Engel, par le logarithme).

Soit S = x1 + … + xnn. Pour tout i, le lemme donne ln(xiS) ≤ xiS − 1. En sommant :

ln(x1⋯xnSn)=∑ni=1 ln(xiS)(Fonctions usuelles (rappel))≤∑ni=1 (xiS − 1)=x1 + … + xnS − n=0

Donc x1⋯xnSn ≤ 1, soit x1⋯xn ≤ Sn, et nx1⋯xn ≤ S.

Preuve alternative (Cauchy).

On montre la forme équivalente P(n) : (x1 + … + xnn)n ≥ x1⋯xn, et on note A l'ensemble des n ∈ ℕ* qui la vérifient. P(1) est vraie.

P(2) : pour x1 et x2 strictement positifs, x1 + x22 ≥ x1x2 ⟺ x1 − 2x1x2 + x2 ≥ 0, et le second membre est (x1 − x2)2.

Si 2m est dans A, alors 2m + 1 aussi : on coupe les 2m + 1 réels en deux moitiés, on applique P(2) aux deux moyennes, puis P(2m) à chaque moitié. Par exemple, pour quatre réels, x1 + x22 + x3 + x422 ≥ x1x2x3x4 ≥ 4x1x2x3x4. Toutes les puissances de 2 sont donc dans A.

Si n + 1 est dans A, alors n aussi : on applique P(n + 1) à x1, …, xn et à leur moyenne S = x1 + … + xnn. La moyenne des n + 1 réels est x1 + … + xn + Sn + 1 = S, donc Sn + 1 ≥ (x1⋯xn)S, soit Sn ≥ x1⋯xn.

Enfin, pour tout n ∈ ℕ*, il existe une puissance de 2 supérieure à n, qui est dans A ; en redescendant un par un, n est dans A.

Corollaire Moyenne géométrique et moyenne harmonique

Pour tout n ∈ ℕ* et tous réels strictement positifs x1, …, xn : x1 + … + xnn ≥ nx1⋯xn ≥ n1x1 + … + 1xn.

Démonstration.

La première inégalité est l'inégalité arithmético-géométrique. Appliquée aux réels 1x1, …, 1xn, elle donne 1x1 + … + 1xnn ≥ 1nx1⋯xn, et on passe à l'inverse.