Définition, restriction, prolongement

Définition, graphe, égalité, restriction et prolongement.

Définition Application¶

Soit E et F deux ensembles. Une application f de E vers F associe à tout élément de E un unique élément de F. On la note f : E → F, ou (E → Fx ↦ f(x)) pour dire ce qu'elle fait d'un élément x.

Si x ∈ E, y ∈ F et y = f(x) : y s'appelle l'image de x par f, x s'appelle un antécédent de y par f, E s'appelle l'ensemble de départ de f et F son ensemble d'arrivée.

Définition Graphe¶

On appelle graphe de f l'ensemble Γ_f = {(x, f(x)) | x ∈ E}, qui est une partie du produit E × F.

Définition Identité¶

L'identité de E est Id_E = (E → Ex ↦ x). Par exemple Id_ℝ a pour graphe {(x, x) | x ∈ ℝ }, la première diagonale.

Remarque Égalité de deux applications¶

Deux applications f et g sont égales si elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d'arrivée et le même graphe (ou loi). Ainsi (ℝ → ℝx ↦ x²) ≠ (ℝ → ℝ₊x ↦ x²) : l'ensemble d'arrivée diffère.

Remarque Une famille est une application¶

Une famille (e_i)_{i ∈ I} d'éléments d'un ensemble E est une application (I → Ei ↦ e_i), notée comme une liste.

Définition Restriction, prolongement¶

Si f : E → F et A ∈ 𝒫(E), on appelle restriction de f à A, et on note f|_A, l'application (A → Fx ↦ f(x)).

On dit que g est un prolongement de f si f est une restriction de g.

Exemple : Restriction et prolongement.

Exemple Restriction et prolongement¶

La restriction à ℝ₊^* de (ℝ^* → ℝx ↦ ln(|x|)) est le logarithme (ℝ₊^* → ℝx ↦ ln(x)).

(ℝ₊ → ℝx ↦ {xln(x) si x > 00 si x = 0) est un prolongement de (ℝ₊^* → ℝx ↦ xln(x)).

Illustre : Restriction, prolongement.