Exemples de démonstration : √2 est irrationnel

Un même résultat, quatre démonstrations : par la parité, par une fraction plus simple, par la décomposition en facteurs premiers, et par une suite de nombres trop petits.

Théorème Irrationalité de √2¶

2 ne peut pas s'écrire comme le quotient de deux entiers : 2 ∉ ℚ.

Illustre : Raisonnement par l'absurde.

Démonstration.

Supposons que 2 = pq avec p et q premiers entre eux. En élevant au carré, on obtient p²q² = 2, soit p² = 2q² : p² est un nombre pair.

Comme le carré d'un nombre impair est impair, p est pair : il existe un entier k tel que p = 2k. Donc p² = 4k², d'où q² = 2k².

Avec le même raisonnement, q est pair : p et q ne sont pas premiers entre eux, ce qui contredit l'hypothèse.

Preuve alternative (une fraction plus simple).

Supposons que 2 = pq avec p ∈ ℕ^*, q ∈ ℕ^*, et q le plus petit possible. Alors on a :

2=2(2 − 1)2 − 1=2 − 22 − 1=2 − pqpq − 1(en remplaçant 2 par pq)=2q − pp − q(en multipliant en haut et en bas par q)

On sait que 1 < 2 < 2, donc 1 < pq < 2, soit q < p < 2q et 0 < p − q < q. On a donc écrit 2 comme une fraction d'entiers dont le dénominateur p − q est strictement plus petit que q : c'est la contradiction.

Preuve alternative (facteurs premiers).

On utilise le théorème fondamental de l'arithmétique. Supposons que 2 = pq avec p et q entiers naturels non nuls. On a alors 2q² = p², comme dans la première démonstration.

Dans la décomposition de p² en produit de nombres premiers, tous les exposants sont pairs, alors que dans celle de 2q² l'exposant de 2 est impair. C'est une contradiction, car 2q² et p² n'ont pas la même décomposition.

Preuve alternative (une suite trop petite).

Pour i ∈ ℕ^*, on considère ε_i = (2 − 1)ⁱ. Comme 0 < 2 − 1 < 12, on a 0 < ε_i < 12ⁱ pour tout entier i non nul.

Par récurrence sur i, il existe des entiers relatifs a_i et b_i tels que ε_i = a_i + b_i2 :

Initialisation : ε₁ = −1 + 12, donc la propriété est vraie au rang 1.

Hérédité : si ε_i = a_i + b_i2 avec a_i et b_i entiers, alors

ε_{i + 1}=(2 − 1)ε_i=(2 − 1)(a_i + b_i2)=2b_i − a_i + (a_i − b_i)2

et 2b_i − a_i, a_i − b_i sont des entiers, car ℤ est stable par addition et soustraction.

Supposons que 2 = pq avec p et q entiers naturels non nuls. Alors ε_i = a_i + b_ipq, qui s'écrit A_iq avec A_i entier ; comme ε_i est strictement positif, A_i ≥ 1. Donc 1q < 12ⁱ, i.e. 2ⁱ < q, pour tout entier i non nul.

C'est impossible pour i = q, car 2^q ≥ q.

Résultats utilisés¶

Lemme Carré d'un nombre impair¶

Le carré d'un nombre impair est impair : si k impair, alors k² impair.

Démonstration.

Si k = 2m + 1 avec m ∈ ℤ, alors

k²=4m² + 4m + 1=2(2m² + 2m) + 1

et 2m² + 2m est un entier.

Théorème Théorème fondamental de l'arithmétique¶

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme produit de nombres premiers, et cette factorisation est unique à l'ordre près des facteurs.

Démonstration.

L'existence est démontrée par récurrence forte. L'unicité est admise pour l'instant.

Théorème Racine carrée d'un entier¶

Si n est un entier naturel, alors n est irrationnel ou entier.

Démonstration.

Chacune des démonstrations de l'irrationalité de √2 s'adapte :

la première, telle quelle, pour tous les nombres pairs qui ne sont pas des multiples de 4 ;

la deuxième, avec k = ⌊n⌋ : si n = pq, on considère nq − kpp − kq = n, et 0 < p − kq < q ;

la troisième, sans changement : un exposant de la décomposition de n est impair ;

la quatrième, avec k = ⌊n⌋ et ε_i = (n − k)ⁱ, qui s'écrit a_i + b_in.