Image directe, image réciproque

L'image d'une partie de l'ensemble de départ, et l'ensemble des antécédents d'une partie de l'ensemble d'arrivée.

Définition Image directe

Si f : E → F et A ∈ 𝒫(E), on définit l'image directe de A par f comme la partie de F formée des images des éléments de A. Nous la noterons fd(A) : fd(A) = {y ∈ F | ∃x ∈ A : y = f(x)} = {f(x) | x ∈ A}. Ainsi (𝒫(E) → 𝒫(F)A ↦ fd(A)) est une application ; de même pour l'image réciproque, de 𝒫(F) dans 𝒫(E).

Exemples : Images par la fonction carré, Image de l'image réciproque, et inversement.

Définition Image réciproque

Si f : E → F et B ∈ 𝒫(F), on définit l'image réciproque de B par f, notée dans ce cours fr−1(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B} : l'ensemble des antécédents des éléments de B. Elle a un sens même quand f n'est pas bijective.

Exemples : Images par la fonction carré, Image de l'image réciproque, et inversement.

Exemple Images par la fonction carré

Soit f = (ℝ → ℝx ↦ x2). Alors fd([−1, 2]) = [0, 4], fd([−1, 0] ∪ [1, 2]) = [0, 4], fd({−1}) = {1} et fd(∅) = ∅.

fr−1({1}) = {−1, 1}, fr−1({−1}) = ∅, fr−1([−1, 4]) = [−2, 2] et fr−1([−1, 4[) = ]−2, 2[.

Illustre : Image directe, Image réciproque.

Exemple Image de l'image réciproque, et inversement

Si A ∈ 𝒫(E), comparer (au sens de l'inclusion) A et fr−1(fd(A)). Si B ∈ 𝒫(F), comparer B et fd(fr−1(B)).

Illustre : Image directe, Image réciproque.

Solution.

1) Soit a ∈ A. Comme f(a) ∈ fd(A), on a a ∈ fr−1(fd(A)) : donc A ⊂ fr−1(fd(A)). L'inclusion réciproque est fausse, comme le montre la fonction carré avec A = [0, 1] : l'image réciproque de [0, 1] est [−1, 1].

2) Soit y ∈ fd(fr−1(B)) : il existe x ∈ fr−1(B) tel que y = f(x), et f(x) ∈ B, donc y ∈ B. Ainsi fd(fr−1(B)) ⊂ B. L'inclusion réciproque est fausse en général : pour la fonction carré, fd(fr−1({−1})) = ∅.