Ensembles de nombres

Les nombres ne sont pas construits ici : on les admet, avec leurs opérations, leur ordre et leurs règles de calcul habituelles.

Les ensembles de nombres

Axiome Les ensembles de nombres

ℕ est l'ensemble des entiers naturels 0, 1, 2, …, ℤ celui des entiers relatifs …, −2, −1, 0, 1, 2, …

ℚ est l'ensemble des nombres rationnels, les nombres de la forme pq où p ∈ ℤ et q ∈ ℕ* : ℚ = {pq | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ*}. On peut supposer p et q premiers entre eux.

ℝ est l'ensemble des nombres réels, ℂ celui des nombres complexes. Chacun contient le précédent : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

Définition Nombres non nuls, nombres positifs

ℕ* est l'ensemble des entiers naturels non nuls, ℤ* celui des entiers relatifs non nuls, ℝ* celui des réels non nuls et ℂ* celui des complexes non nuls (« privé de 0 ») : ℕ* = {n ∈ ℕ | n ≠ 0}.

ℝ+ est l'ensemble des réels positifs, ℝ+ = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}, ℝ+* celui des réels strictement positifs, ℝ+* = {x ∈ ℝ | x > 0}, et ℝ−* celui des réels strictement négatifs.

Opérations

Axiome Opérations sur les nombres

Deux nombres a et b ont une somme a + b, une différence a − b, un produit ab (aussi noté a × b) et, quand b ≠ 0, un quotient ab. Ces opérations suivent les règles de calcul habituelles : commutativité, associativité, distributivité a(b + c) = ab + ac.

ℤ, ℚ, ℝ et ℂ sont stables par addition, soustraction et multiplication : la somme, la différence et le produit de deux éléments de l'un d'eux y sont encore. ℚ, ℝ et ℂ sont de plus stables par division par un nombre non nul. ℕ est stable par addition et multiplication seulement.

Ordre

Définition Relation d'ordre

Une relation a ≤ b sur un ensemble E est une relation d'ordre si elle est réflexive (a ≤ a), antisymétrique (a ≤ b ∧ b ≤ a ⟹ a = b) et transitive (a ≤ b ≤ c ⟹ a ≤ c). L'ordre est total quand deux éléments sont toujours comparables : a ≤ b ou b ≤ a.

Définition Supérieur, strictement inférieur, strictement supérieur

À partir d'une relation d'ordre a ≤ b : a ≥ b ⟺ b ≤ a, a < b ⟺ a ≤ b ∧ a ≠ b et a > b ⟺ b < a.

Axiome Ordre sur les nombres réels

Les réels sont rangés par un ordre total a ≤ b, compatible avec la somme et le produit : a ≤ b ⟹ a + c ≤ b + c et 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ⟹ 0 ≤ ab. Il prolonge l'ordre de ℕ, ℤ et ℚ. Il n'y a pas d'ordre de ce type sur ℂ : on ne compare pas deux nombres complexes.

Définition Majorant, minorant

Soit A une partie d'un ensemble ordonné E. Un élément M de E est un majorant de A quand ∀a ∈ A, a ≤ M, et m est un minorant de A quand ∀a ∈ A, m ≤ a. La partie A est majorée quand elle a un majorant, minorée quand elle a un minorant, bornée quand elle est les deux.

Définition Plus petit élément, plus grand élément

Un plus petit élément de A est un élément m de A qui minore A : m ∈ A ∧ (∀a ∈ A, m ≤ a). Un plus grand élément de A est un élément de A qui majore A. S'il existe, il est unique, par antisymétrie de l'ordre.

Entiers

Définition Intervalles d'entiers

Pour p et q dans ℤ, ⟦p, q⟧ = {k ∈ ℤ | p ≤ k ≤ q} : les entiers de p à q. Il est vide quand q < p.

Définition Entiers pairs, entiers impairs

Un entier relatif k est pair quand il s'écrit 2m avec m ∈ ℤ : k pair ⟺ (∃m ∈ ℤ : k = 2m). Il est impair quand il s'écrit 2m + 1 : k impair ⟺ (∃m ∈ ℤ : k = 2m + 1). Tout entier est pair ou impair, et pas les deux.

Définition Divisibilité, nombres premiers

Un entier a divise un entier b, noté a | b, quand b est un multiple de a : a | b ⟺ (∃k ∈ ℤ : b = ka). On dit aussi que b est divisible par a.

Un entier naturel p est premier quand p ≥ 2 et que ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p. Deux entiers sont premiers entre eux quand leur seul diviseur positif commun est 1 : une fraction ab peut toujours s'écrire avec a et b premiers entre eux, en simplifiant.

Remarque Division euclidienne

Pour a ∈ ℤ et b ∈ ℕ*, il existe un unique couple d'entiers q (le quotient) et r (le reste) tels que a = bq + r et 0 ≤ r < b. Par exemple, tout entier a s'écrit 3q, 3q + 1 ou 3q + 2. On l'admet pour l'instant.