Assertions et connecteurs logiques

Les objets mathématiques : expressions, énoncés, démonstrations, et les connecteurs qui forment les énoncés.

Les objets mathématiques

Remarque Les niveaux de discours

Le français mathématique utilise trois ou quatre niveaux de discours :

les expressions, comme n(n + 1)2 : une variable libre n, deux constantes numériques (1 et 2) et trois fonctions (l'addition, la multiplication implicite et la division) ;

les formules ou énoncés, comme 1 + … + n = n(n + 1)2 ;

les démonstrations, qui établissent la vérité des énoncés ;

les discussions, qui donnent des explications et véhiculent l'intuition.

Axiome Assertions

Une assertion, ou proposition mathématique, ne peut prendre que deux valeurs de vérité : vraie ou fausse.

Remarque Proposition, théorème, corollaire, lemme

Une assertion démontrée s'appelle une proposition ; un théorème est une proposition importante, un lemme une étape vers un résultat plus important, et un corollaire une conséquence directe d'un résultat qui précède.

Connecteurs logiques

Définition Conjonction

Si P et Q sont deux assertions, l'assertion P ∧ Q (« P et Q ») est vraie si et seulement si P est vraie et Q est vraie.

Définition Disjonction

L'assertion P ∨ Q (« P ou Q ») est vraie si P est vraie ou Q est vraie. C'est un ou inclusif : P ∨ Q est vraie aussi quand P et Q le sont toutes les deux.

Définition Implication

« Si P alors Q » se note P ⟹ Q. On dit que P est une condition suffisante pour Q, et que Q est une condition nécessaire de P.

P ⟹ Q équivaut à « non(P) ou Q » : P ⟹ Q ⟺ ¬P ∨ Q. Elle n'est fausse que lorsque P est vraie et Q fausse :

P : V, F, V, F ; Q : V, V, F, F ; P ⟹ Q : V, V, F, V.

Définition Équivalence

On dit que P et Q sont équivalentes si et seulement si (P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ P). On note alors P ⟺ Q, et on dit aussi « P si et seulement si Q ».

Définition Négation

Si P est une assertion, la proposition ¬P (« non P ») est vraie si et seulement si P est fausse.

Négations

Propriété Négation d'une conjonction, d'une disjonction

¬(P ∧ Q) ⟺ ¬P ∨ ¬Q et ¬(P ∨ Q) ⟺ ¬P ∧ ¬Q.

Démonstration.

P ∧ Q est fausse exactement quand l'une des deux est fausse, c'est-à-dire quand ¬P ou ¬Q est vraie. De même, P ∨ Q est fausse exactement quand les deux sont fausses.

Propriété Double négation

¬(¬P) ⟺ P.

Démonstration.

¬(¬P) est vraie si et seulement si ¬P est fausse, c'est-à-dire si et seulement si P est vraie.

Propriété Négation d'une implication

¬(P ⟹ Q) ⟺ P ∧ ¬Q : la négation de « si P alors Q » n'est pas une implication.

Démonstration.
¬(P ⟹ Q)⟺¬(¬P ∨ Q)(Implication)⟺¬(¬P) ∧ ¬Q(Négation d'une conjonction, d'une disjonction)⟺P ∧ ¬Q(Double négation)

Égalité

Axiome Égalité

a = b signifie que a et b désignent le même objet. Tout objet est égal à lui-même, et si a = b, toute propriété vraie de a est vraie de b : a = b ∧ P(a) ⟹ P(b).

Définition Différent

a ≠ b signifie que a et b ne sont pas égaux : a ≠ b ⟺ ¬(a = b).