Premières notations

Segments, partie entière, valeur absolue, racines, limites : les notations utilisées dès le début.

Segments et intervalles de ℝ

Définition Segments de ℝ

Si a et b sont deux réels, [a, b] est l'ensemble des réels compris au sens large entre a et b, et [a, b] = [b, a]. On appelle segments de ℝ ces ensembles : ce sont les intervalles fermés et bornés de ℝ.

Définition Intervalles de ℝ

Pour a et b dans ℝ avec a ≤ b, on note ]a, b[ = {x ∈ ℝ | a < x < b} (intervalle ouvert), [a, b[ = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} et ]a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} (semi-ouverts). Le crochet est tourné vers l'extérieur quand la borne n'est pas atteinte : [0, +∞[ est l'ensemble des réels positifs.

Partie entière

Définition Partie entière d'un réel

La partie entière (inférieure) d'un réel x, notée ⌊x⌋, est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x : ⌊x⌋ ∈ ℤ et ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1.

Par exemple ⌊3,14⌋ = 3 et ⌊−3,14⌋ = −4.

Valeur absolue, racines, logarithme

Définition Valeur absolue

La valeur absolue d'un réel x est |x| = {x si x ≥ 0−x si x < 0. |x − y| est la distance entre x et y sur la droite réelle.

Axiome Fonctions usuelles (rappel)

Ces fonctions seront étudiées plus tard ; on admet ici leurs propriétés de base.

Pour x ∈ ℝ+, x est l'unique réel positif dont le carré vaut x, et nx l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut x : nxn = x.

Le logarithme ln(a) est défini pour a ∈ ℝ+* : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(1) = 0, et sa dérivée est a ↦ 1a. L'exponentielle et est sa réciproque : et = a ⟺ t = ln(a), et pour a ∈ ℝ+* et t ∈ ℝ, at vaut etln(a).

Limites

Définition La droite réelle achevée ℝ

On ajoute à ℝ deux objets qui ne sont pas des réels, −∞ et +∞ : ℝ est ℝ ∪ {−∞, +∞}. L'ordre de ℝ est prolongé à ℝ en posant −∞ < x < +∞ pour tout réel x.

Définition Limites

Soit f une fonction et a, b dans ℝ. On évitera la notation « lim f(x) = b quand x tend vers a » ; on utilisera f(x)x→ab : f(x) tend vers b quand x tend vers a.

Si (un)n ≥ 0 est une suite, n ne peut tendre que vers +∞. On note unn→+∞l, ou simplement un → l, où l ∈ ℝ. La définition avec les quantificateurs est donnée plus loin.

Remarque Abréviations

« i.e. » signifie « c'est-à-dire », et « resp. » signifie « respectivement ».