Contraposée, absurde, tiers exclu, disjonction, analyse-synthèse

Les principales façons de démontrer une assertion, chacune avec un exemple.

Contraposée¶

Méthode Raisonnement par contraposée¶

Pour démontrer P ⟹ Q, on peut démontrer ¬Q ⟹ ¬P, sa contraposée : P ⟹ Q ⟺ ¬Q ⟹ ¬P.

Application : Un réel positif plus petit que tout ε > 0.

Exemple Un réel positif plus petit que tout ε > 0¶

Montrons que ∀x ∈ ℝ₊, (∀ε > 0, x < ε) ⟹ x = 0.

Illustre : Raisonnement par contraposée.

Solution.

Par contraposée, montrons que ∀x ∈ ℝ₊, x ≠ 0 ⟹ (∃ε > 0 : x ≥ ε).

Soit x ∈ ℝ₊ avec x ≠ 0. Alors ε = x2 convient : ε > 0 et x ≥ ε.

Absurde¶

Méthode Raisonnement par l'absurde¶

Pour démontrer ¬P, on peut démontrer que P mène à une contradiction : (P ⟹ Q) ∧ (P ⟹ ¬Q).

Application : Irrationalité de √2.

Tiers exclu¶

Méthode Raisonnement par tiers exclu¶

P ∨ ¬P est toujours vraie : on peut distinguer le cas où P est vraie et celui où elle est fausse, même sans savoir lequel a lieu.

Application : Un irrationnel puissance un irrationnel.

Exemple Un irrationnel puissance un irrationnel¶

Existe-t-il deux irrationnels a et b tels que a puissance b soit rationnel ?

Illustre : Raisonnement par tiers exclu.

Solution.

Oui. Par tiers exclu, soit 2² est rationnel, et a = b = 2 conviennent ; soit il est irrationnel, et a = 2², b = 2 conviennent, car

(2²)²=2²²(Fonctions usuelles (rappel))=2²=2

est rationnel. On ne sait pas, ici, lequel des deux cas a lieu.

Disjonction des cas¶

Méthode Raisonnement par disjonction des cas¶

Pour démontrer R, on peut séparer les cas P et Q qui couvrent toutes les possibilités, et démontrer R dans chacun : (P ∨ Q) ∧ (P ⟹ R) ∧ (Q ⟹ R) ⟹ R.

Application : Un produit divisible par 3.

Exemple Un produit divisible par 3¶

Montrons que pour tout entier naturel n, 3 | n(n + 1)(2n + 1).

Illustre : Raisonnement par disjonction des cas.

Solution.

Par division euclidienne, n s'écrit 3q, 3q + 1 ou 3q + 2.

1er cas : si n = 3q, alors 3 divise n, donc aussi n(n + 1)(2n + 1).

2e cas : si n = 3q + 1, alors 2n + 1 = 2(3q + 1) + 1 = 6q + 3 = 3(2q + 1), donc 3 divise 2n + 1, et donc n(n + 1)(2n + 1) aussi.

3e cas : si n = 3q + 2, alors n + 1 = 3(q + 1), donc 3 divise n + 1, et donc n(n + 1)(2n + 1) aussi.

Analyse-synthèse¶

Méthode Raisonnement par analyse-synthèse¶

Pour trouver tous les objets qui vérifient une propriété :

analyse : on suppose qu'un objet la vérifie, et on raisonne par une suite de conditions nécessaires, jusqu'à n'avoir plus que quelques candidats ;

synthèse : on examine les possibilités restantes à l'issue de ces conditions, et on garde celles qui vérifient bien la propriété.

Applications : Une équation avec des racines, Fonction paire plus fonction impaire.

Exemple Une équation avec des racines¶

Résoudre x − 1x + 1 = 2 (E), d'inconnue x ∈ ℝ.

Illustre : Raisonnement par analyse-synthèse.

Solution.

Analyse : si x est solution de (E), alors (x + 1)(x − 1) = 4, soit x² − 1 = 4, ou x² = 5, donc x = 5 ou x = −5.

Synthèse : pour x = −5, (E) n'est pas définie (racine d'un nombre négatif). Pour x = 5, (E) est définie et 5 − 15 + 1 = 4 = 2 : 5 est solution.

Donc l'ensemble des solutions est {5}.

Exemple Fonction paire plus fonction impaire¶

Toute fonction f : ℝ → ℝ s'écrit comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Illustre : Raisonnement par analyse-synthèse.

Solution.

Analyse : soit f : ℝ → ℝ. S'il existe h paire et g impaire, de ℝ dans ℝ, telles que ∀x ∈ ℝ, f(x) = g(x) + h(x), alors ∀x ∈ ℝ, f(−x) = g(−x) + h(−x) = −g(x) + h(x). En ajoutant et en retranchant ces deux égalités, h(x) = f(x) + f(−x)2 et g(x) = f(x) − f(−x)2 : g et h sont déterminées par f.

Synthèse : soit f : ℝ → ℝ. On pose h = (x ↦ f(x) + f(−x)2) et g = (x ↦ f(x) − f(−x)2). Alors h est paire (calculer h(−x)), g est impaire, et ∀x ∈ ℝ, f(x) = g(x) + h(x).