Propriétés des opérations, partitions

Distributivité, lois de De Morgan, leur généralisation aux familles, et les partitions.

Distributivité et lois de De Morgan¶

Propriété Distributivité¶

Si A, B et C sont trois parties de E : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Démonstration.

Pour tout x ∈ E :

x ∈ A ∩ (B ∪ C)⟺x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C⟺x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⟺x ∈ A ∧ x ∈ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ C⟺x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ A ∩ C⟺x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

La seconde égalité se démontre de la même façon.

Propriété Lois de De Morgan¶

Si A et B sont deux parties de E : ∁_E(A ∪ B) = ∁_EA ∩ ∁_EB et ∁_E(A ∩ B) = ∁_EA ∪ ∁_EB.

Démonstration.

Pour tout x ∈ E :

x ∈ ∁_E(A ∪ B)⟺x ∉ A ∪ B⟺x ∉ A ∧ x ∉ B(Négation d'une conjonction, d'une disjonction)⟺x ∈ ∁_EA ∧ x ∈ ∁_EB⟺x ∈ ∁_EA ∩ ∁_EB

La seconde égalité se démontre de la même façon.

Propriété Généralisation aux familles¶

Si (A_i)_{i ∈ I} est une famille de parties de E et B ∈ 𝒫(E) : B ∩ ⋃i ∈ I A_i = ⋃i ∈ I (B ∩ A_i), B ∪ ⋂i ∈ I A_i = ⋂i ∈ I (B ∪ A_i), ∁_E(⋃i ∈ I A_i) = ⋂i ∈ I ∁_EA_i et ∁_E(⋂i ∈ I A_i) = ⋃i ∈ I ∁_EA_i.

Démonstration.

Pour la troisième (preuve partielle), pour tout x ∈ E :

x ∈ ∁_E(⋃i ∈ I A_i)⟺x ∉ ⋃i ∈ I A_i⟺¬(∃i ∈ I : x ∈ A_i)⟺∀i ∈ I, x ∉ A_i(Négation d'une phrase quantifiée)⟺x ∈ ⋂i ∈ I ∁_EA_i

Partitions¶

Définition Partition¶

On appelle partition d'un ensemble E toute famille de parties non vides de E, deux à deux disjointes, dont la réunion est E : (A_i)_{i ∈ I} est une partition de E si ∀i ∈ I, A_i ≠ ∅, si A_i ∩ A_j = ∅ pour i ≠ j, et si ⋃i ∈ I A_i = E.

Exemple : Exemples de partitions.

Exemple Exemples de partitions¶

({x})_{x ∈ E} est une partition de E ; ([n, n + 1[)_{n ∈ ℤ} est une partition de ℝ ; si A ∈ 𝒫(E), avec A ≠ ∅ et A ≠ E, alors (A, ∁_EA) est une partition de E.

Illustre : Partition.