ℤ est construit à partir de ℕ.
Les entiers relatifs sont les différences n − m de deux entiers naturels n et m : ℤ = {n − m | n ∈ ℕ, m ∈ ℕ}. Deux différences désignent le même entier relatif quand n − m = n′ − m′ ⟺ n + m′ = n′ + m.
(n − m) + (n′ − m′) = (n + n′) − (m + m′).
(n − m) − (n′ − m′) = (n + m′) − (m + n′).
Pour a et b dans ℤ, a ≤ b quand la différence b − a est un entier naturel : a ≤ b ⟺ b − a ∈ ℕ.
ℤ* = {k ∈ ℤ | k ≠ 0}.
ℤ+ = {k ∈ ℤ | k ≥ 0}. Ce sont les entiers naturels : on identifie ℤ+ à ℕ.
ℤ+* = {k ∈ ℤ | k > 0}.