Ensembles, appartenance, inclusion

Les notions primitives sur lesquelles tout le reste est construit.

Ensembles et appartenance¶

Axiome Ensembles et appartenance¶

Un ensemble est une collection d'objets, ses éléments. On note x ∈ A pour dire que x est un élément de A, et x ∉ A sinon. Ces deux notions ne sont pas définies : elles sont primitives.

Axiome Extensionnalité¶

Deux ensembles A et B qui ont les mêmes éléments sont égaux : si pour tout x, x ∈ A ⟺ x ∈ B, alors A = B.

Inclusion¶

Définition Inclusion¶

A est inclus dans B, noté A ⊂ B, quand tout élément de A est dans B : ∀x ∈ A, x ∈ B. On dit aussi que A est une partie de B, ou un sous-ensemble de B, ou que B contient A.

Ensemble vide¶

Axiome Existence d'un ensemble vide¶

Il existe un ensemble qui n'a aucun élément.

Définition Ensemble vide¶

∅ est l'ensemble qui n'a aucun élément : pour tout x, x ∉ ∅. Il existe d'après l'axiome, et il est unique d'après l'extensionnalité.

Ensembles définis par une propriété¶

Axiome Compréhension¶

Pour tout ensemble E et toute propriété P(x), il existe un ensemble {x ∈ E | P(x)} formé des éléments de E qui vérifient P(x) : y ∈ {x ∈ E | P(x)} ⟺ y ∈ E ∧ P(y).

Définition Ensemble des valeurs d'une expression¶

Pour tout ensemble E, {f(x) | x ∈ E} est l'ensemble des objets de la forme f(x) avec x ∈ E : y ∈ {f(x) | x ∈ E} ⟺ (∃x ∈ E, y = f(x)). On admet qu'il existe.