Propositions, connecteurs, quantificateurs, égalité

Le langage dans lequel tous les énoncés sont écrits.

Propositions¶

Axiome Propositions¶

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux.

Connecteurs¶

Définition Négation¶

La négation ¬P (« non P ») est vraie quand P est fausse, et fausse quand P est vraie.

Définition Conjonction¶

La conjonction P ∧ Q est vraie quand P et Q sont vraies toutes les deux, et fausse sinon.

Définition Disjonction¶

La disjonction P ∨ Q est vraie quand au moins l'une des deux est vraie, et fausse quand elles sont fausses toutes les deux : c'est un ou inclusif.

Définition Implication¶

L'implication P ⟹ Q (« P implique Q ») est fausse seulement quand P est vraie et Q fausse : P ⟹ Q ⟺ ¬P ∨ Q.

Définition Équivalence¶

L'équivalence P ⟺ Q (« P équivaut à Q ») est vraie quand P et Q sont vraies toutes les deux ou fausses toutes les deux : c'est (P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ P).

Quantificateurs¶

Axiome Quantificateurs¶

Si P(x) est une propriété de x, ∀x ∈ A, P(x) (« pour tout x de A ») signifie que P(x) est vraie pour chaque élément x de A, et ∃x ∈ A, P(x) (« il existe x dans A ») qu'elle est vraie pour au moins un élément x de A.

Égalité¶

Axiome Égalité¶

a = b signifie que a et b désignent le même objet. Tout objet est égal à lui-même, a = a, et si a = b, toute propriété P(a) vraie de a est vraie de b : a = b ∧ P(a) ⟹ P(b).

Définition Différent¶

a ≠ b signifie que a et b ne sont pas égaux : a ≠ b ⟺ ¬(a = b).