Les nombres réels

ℝ est primitif : il n'est pas construit, il est décrit.

ℝ et ses parties¶

Axiome Les nombres réels¶

ℝ est l'ensemble des nombres réels, comme 0,2, -3, la racine carrée de 2 ou π. Il contient les nombres rationnels, et aussi des nombres qui ne sont pas des quotients d'entiers.

Axiome Ordre sur les nombres réels¶

Les nombres réels sont rangés par un ordre total : de deux réels, l'un est toujours inférieur ou égal à l'autre. Cet ordre prolonge celui des rationnels.

Définition Les nombres réels non nuls¶

ℝ^* est l'ensemble des nombres réels différents de 0.

Définition Les nombres réels positifs¶

ℝ₊ est l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls.

Définition Les nombres réels strictement positifs¶

ℝ₊^* est l'ensemble des nombres réels strictement positifs.

Segments et partie entière¶

Définition Segments de ℝ¶

Pour deux réels a et b, l'ensemble [a, b] est l'ensemble des réels compris au sens large entre a et b, donc [a, b] = [b, a]. On appelle ces ensembles les segments de ℝ : ce sont les intervalles fermés et bornés de ℝ.

Définition Partie entière d'un réel¶

La partie entière (inférieure) d'un réel x, notée ⌊x⌋, est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x : ⌊x⌋ ∈ ℤ et ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1.

Par exemple ⌊3,14⌋ = 3 et ⌊−3,14⌋ = −4.

La droite réelle achevée¶

Définition La droite réelle achevée ℝ¶

On ajoute à ℝ deux objets qui ne sont pas des réels, notés −∞ et +∞, et on pose ℝ = ℝ ∪ {−∞, +∞}. L'ordre de ℝ est prolongé à ℝ en posant −∞ < x < +∞ pour tout réel x.